Determine \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{c} \times \vec{d}, dados os quatro vetores à seguir. ( \mathbf{2 , 5} pontos)
\vec{a}=2,000 \hat{i} \quad \vec{b}=2,000 \hat{i}+1,00 \hat{j} \quad \vec{c}=-2,000 \hat{i}+1,00 \hat{j} \quad \vec{d}=4,00 \hat{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \vec a\cdot\vec b \;+\;\vec c\times\vec d,
sendo
\displaystyle \vec a=2{,}000\,\hat\imath,
\displaystyle \vec b=2{,}000\,\hat\imath+1{,}00\,\hat\jmath,
\displaystyle \vec c=-2{,}000\,\hat\imath+1{,}00\,\hat\jmath
e
\displaystyle \vec d=4{,}00\,\hat k.
Vamos usar a definição de produto escalar
\displaystyle \vec u\cdot\vec v = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z
e a regra de Sarrus para o produto vetorial
\displaystyle \vec u\times\vec v.

Passo 2

Calcular \displaystyle \vec a\cdot\vec b.
Como
\displaystyle \vec a=(2,0,0)
e
\displaystyle \vec b=(2,1,0),
temos
\vec a\cdot\vec b =2\cdot2 + 0\cdot1 + 0\cdot0 =4.

Passo 3

Calcular \displaystyle \vec c\times\vec d.
Escrevendo
\displaystyle \vec c=(-2,1,0)
e
\displaystyle \vec d=(0,0,4),
usamos o determinante 3×3:
\vec c\times\vec d =\begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} =\hat\imath\,(1\cdot4-0\cdot0) -\hat\jmath\,(-2\cdot4-0\cdot0) +\hat k\,(-2\cdot0-1\cdot0) =4\,\hat\imath+8\,\hat\jmath+0\,\hat k.

Passo 4

Observar que \displaystyle \vec a\cdot\vec b é escalar e
\displaystyle \vec c\times\vec d é vetor.
Não faz sentido somar escalar com vetor no mesmo espaço vetorial.

Resposta

\displaystyle \vec a\cdot\vec b=4,
\displaystyle \vec c\times\vec d=4\,\hat\imath+8\,\hat\jmath,
e a soma \vec a\cdot\vec b+\vec c\times\vec d
não está definida (escalares e vetores não se somam).

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