Determine se \vec{F} é o gradiente de uma certa função \varphi. Se for, determine \varphi.
\vec{F}(x, y, z)=2 x y z \vec{i}+x^{2} z \vec{j}+\left(x^{2} y+1\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = 2xyz\,\vec{i} + x^2z\,\vec{j} + \bigl(x^2y + 1\bigr)\,\vec{k}
e pede para verificar se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla \varphi = \vec{F}. Como o domínio é \mathbb{R}^3 (simplesmente conexo), basta checar se \operatorname{curl}\vec{F} = \vec{0}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas para ver se \operatorname{curl}\vec{F}=0:
\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xyz\bigr) = 2xz, \quad \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2z\bigr) = 2xz.
\frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2z\bigr) = x^2, \quad \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y+1\bigr) = x^2.
\frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y+1\bigr) = 2xy, \quad \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xyz\bigr) = 2xy.
Como todas as componentes se igualam, temos \operatorname{curl}\vec{F}=\vec{0} e \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para encontrar \varphi, integramos primeiro
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2xyz
em relação a x:
\varphi(x,y,z) = \int 2xyz\,dx = x^2yz + h(y,z).
Agora diferenciamos em y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^2z + \frac{\partial h}{\partial y}(y,z) \overset{!}{=} F_2 = x^2z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=0
portanto h(y,z)=g(z).

Passo 4

Escrevendo
\varphi(x,y,z) = x^2yz + g(z),
diferenciamos em z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = x^2y + g'(z) \overset{!}{=} F_3 = x^2y + 1 \quad\Longrightarrow\quad g'(z)=1 \quad\Longrightarrow\quad g(z)=z+C.
Logo
\varphi(x,y,z) = x^2yz + z + C.

Resposta

\displaystyle \varphi(x,y,z) = x^2yz + z + C, onde C é constante.

Exercícios relacionados