Determine se \vec{F} é o gradiente de uma certa função \varphi. Se for, determine \varphi.
\vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+y z \vec{j}+x^{2} y \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\vec{F}(x,y,z) = xz\,\vec{i} + yz\,\vec{j} + x^2y\,\vec{k}
é um campo conservativo (isto é, se existe \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}). O critério em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo) é checar se
\nabla\times\vec{F} = \vec{0}.

Passo 2

Vamos calcular a componente x do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_x = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(F_k\bigr) - \frac{\partial}{\partial z}\bigl(F_j\bigr) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y\bigr) - \frac{\partial}{\partial z}\bigl(yz\bigr).
Como \frac{\partial}{\partial y}(x^2y)=x^2 e \frac{\partial}{\partial z}(yz)=y, temos
(\nabla\times\vec{F})_x = x^2 - y.

Passo 3

Note que, em geral, x^2 - y \neq 0. Logo
\nabla\times\vec{F}\neq \vec{0}
em todo \mathbb{R}^3. Portanto \vec{F} não é conservativo, e não existe potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}.

Resposta

\vec{F} não é o gradiente de nenhuma função \varphi.

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