Seja \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r} onde \vec{\omega} é um vetor constante, e \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}. Mostre que \vec{\omega}=\frac{1}{2}(\nabla \times \vec{v}).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se \displaystyle \vec v = \vec\omega \times \vec r
com \vec\omega constante e \displaystyle \vec r = x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k,
então \displaystyle \vec\omega = \tfrac12\bigl(\nabla\times\vec v\bigr).
O conteúdo é cálculo vetorial, em especial o rotacional (curl) de um produto vetorial com vetor constante.
Passo 2
Primeiro escrevemos \vec\omega e \vec v em componentes. Seja \displaystyle \vec\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z).
Então
\vec v = \vec\omega\times\vec r = (\omega_y z - \omega_z y)\,\vec i +(\omega_z x - \omega_x z)\,\vec j +(\omega_x y - \omega_y x)\,\vec k.
Chamando \displaystyle v_x=\omega_y z - \omega_z y, \displaystyle v_y=\omega_z x - \omega_x z
e \displaystyle v_z=\omega_x y - \omega_y x.
Passo 3
Usamos a definição do rotacional em componentes:
\nabla\times\vec v =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}.
Como \omega_x,\omega_y,\omega_z são constantes, calculamos cada componente: