Seja \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r} onde \vec{\omega} é um vetor constante, e \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}. Mostre que \vec{\omega}=\frac{1}{2}(\nabla \times \vec{v}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
\displaystyle \vec v = \vec\omega \times \vec r
com \vec\omega constante e
\displaystyle \vec r = x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k,
então
\displaystyle \vec\omega = \tfrac12\bigl(\nabla\times\vec v\bigr).
O conteúdo é cálculo vetorial, em especial o rotacional (curl) de um produto vetorial com vetor constante.

Passo 2

Primeiro escrevemos \vec\omega e \vec v em componentes. Seja
\displaystyle \vec\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z).
Então
\vec v = \vec\omega\times\vec r = (\omega_y z - \omega_z y)\,\vec i +(\omega_z x - \omega_x z)\,\vec j +(\omega_x y - \omega_y x)\,\vec k.
Chamando
\displaystyle v_x=\omega_y z - \omega_z y,
\displaystyle v_y=\omega_z x - \omega_x z
e
\displaystyle v_z=\omega_x y - \omega_y x.

Passo 3

Usamos a definição do rotacional em componentes:
\nabla\times\vec v =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}.
Como \omega_x,\omega_y,\omega_z são constantes, calculamos cada componente:
(\nabla\times\vec v)_x =\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial y}(\omega_x y - \omega_y x) -\frac{\partial}{\partial z}(\omega_z x - \omega_x z) =\omega_x -(-\omega_x)=2\,\omega_x,
(\nabla\times\vec v)_y =\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x} =\omega_y -(-\omega_y)=2\,\omega_y,
(\nabla\times\vec v)_z =\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y} =\omega_z -(-\omega_z)=2\,\omega_z.
Logo
\displaystyle \nabla\times\vec v = (2\omega_x,2\omega_y,2\omega_z)=2\,\vec\omega.

Passo 4

Isolando \vec\omega obtemos
\vec\omega = \tfrac12\bigl(\nabla\times\vec v\bigr),
que é justamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\displaystyle \vec\omega = \tfrac12\bigl(\nabla\times\vec v\bigr).

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