Determine se \vec{F} é o gradiente de uma certa função \varphi. Se for, determine \varphi.
\vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2}+x^{2}\right) \vec{i}+\left(z^{2}+y^{2}\right) \vec{j}+\left(x^{2}+z^{2}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\displaystyle \vec F(x,y,z)=(P,Q,R) com
P(x,y,z)=x^2+y^2,\quad Q(x,y,z)=y^2+z^2,\quad R(x,y,z)=z^2+x^2
e pede para verificar se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec F. Para campos em \mathbb{R}^3 num domínio simplesmente conectado (aqui todo \mathbb{R}^3), uma condição necessária e suficiente é \nabla\times\vec F=\vec 0. Vamos calcular o rotacional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial R}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^2+z^2)=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(y^2+z^2)=2z,
\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(x^2+y^2)=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(z^2+x^2)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(y^2+z^2)=0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=2y.
Então o rotacional é
\nabla\times\vec F =\bigl(R_y - Q_z,\;P_z - R_x,\;Q_x - P_y\bigr) =(-2z,\,-2x,\,-2y).

Passo 3

Como \nabla\times\vec F=(-2z,-2x,-2y)\neq(0,0,0) em geral e o domínio é todo \mathbb{R}^3 (simply connected), concluímos que \vec F não é conservativo. Logo não existe função potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec F.

Resposta

\vec F não é o gradiente de nenhuma função \varphi.

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