Questão 3. (15pts) Quais das séries a seguir convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} e^{-2 n};

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}e^{-2n}
e pergunta se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar definição de convergência absoluta e a identificação de séries geométricas.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}e^{-2n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}e^{-2n}.
Isso é uma série geométrica de razão
\rho = e^{-2}.
Como 0<\rho<1, essa série geométrica converge. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}e^{-2n}
converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados