Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo. Resolva os exercícios usando Eliminação de Gauss e Fatoração LU.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você mandou usando dois métodos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU. O sistema é:
Vamos precisar entender como manipular matrizes e resolver equações passo a passo. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver usando a Eliminação de Gauss. Isso envolve transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular superior.
A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (1 na primeira linha, primeira coluna). Para isso, usamos a primeira linha para zerar o -2 da segunda linha e o 1 da terceira linha.
- Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
- Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
A matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (5 na segunda linha, segunda coluna) usando a segunda linha.
- Linha 3 = Linha 3 + (1/5) * Linha 2:
A matriz fica:
Passo 5
Agora que a matriz está triangular, vamos fazer a substituição back para encontrar as variáveis.
Começamos pela terceira equação:
Passo 6
Substituímos o valor de
z na segunda equação:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de
y e
z na primeira equação:
Passo 8
Agora, vamos resolver usando a Fatoração LU. Primeiro, fatoramos a matriz dos coeficientes
A em duas matrizes:
L (inferior) e
U (superior).
Matriz
A :
Após fatoração, encontramos:
Encontramos
a = 25 .
Passo 9
Agora, resolvemos
L cdot y = b :
Passo 10
Finalmente, resolvemos [U \cdot x = y):
Substituindo (x_3] na segunda equação:
E na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema é
x = 1725 ,
y = 2 e
z = 2 .