Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo. Resolva os exercícios usando Eliminação de Gauss e Fatoração LU.
j) [rrr1 & 1 & 0 -2 & 3 & -3 1 & 0 & 1][lx y z]=[l1 2 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você mandou usando dois métodos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU. O sistema é:
x + y = 1 -2x + 3y - 3z = 2 x + z = 1
Vamos precisar entender como manipular matrizes e resolver equações passo a passo. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver usando a Eliminação de Gauss. Isso envolve transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular superior.
A matriz aumentada fica assim:
[ccc|c 1 & 1 & 0 & 1 -2 & 3 & -3 & 2 1 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 3

Vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (1 na primeira linha, primeira coluna). Para isso, usamos a primeira linha para zerar o -2 da segunda linha e o 1 da terceira linha.
  • Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
-2 + 2(1) = 0 3 + 2(1) = 5 -3 + 2(0) = -3 2 + 2(1) = 4
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
1 - 1 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0
A matriz fica:
[ccc|c 1 & 1 & 0 & 1 0 & 5 & -3 & 4 0 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (5 na segunda linha, segunda coluna) usando a segunda linha.
  • Linha 3 = Linha 3 + (1/5) * Linha 2:
0 + 0 = 0 -1 + 15(5) = 0 1 + 15(-3) = 1 - 35 = 25 0 + 15(4) = 45
A matriz fica:
[ccc|c 1 & 1 & 0 & 1 0 & 5 & -3 & 4 0 & 0 & 25 & 45 ]

Passo 5

Agora que a matriz está triangular, vamos fazer a substituição back para encontrar as variáveis.
Começamos pela terceira equação:
25z = 45 implies z = 45 div 25 = 2

Passo 6

Substituímos o valor de z na segunda equação:
5y - 3(2) = 4 implies 5y - 6 = 4 implies 5y = 10 implies y = 2

Passo 7

Agora, substituímos os valores de y e z na primeira equação:
x + 2 = 1 implies x = -1

Passo 8

Agora, vamos resolver usando a Fatoração LU. Primeiro, fatoramos a matriz dos coeficientes A em duas matrizes: L (inferior) e U (superior).
Matriz A :
1 & 1 & 0 -2 & 3 & -3 1 & 0 & 1
Após fatoração, encontramos:
L = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 1 & a & 1 , U = 1 & 1 & 0 0 & 5 & -3 0 & 0 & 2
Encontramos a = 25 .

Passo 9

Agora, resolvemos L cdot y = b :
y1 = 1 -2y1 + y2 = 2 implies y2 = 2 + 2(1) = 4 y1 + 25y2 + y3 = 1 implies 1 + 25(4) + y3 = 1 implies y3 = 1 - 1 - 85 = -85

Passo 10

Finalmente, resolvemos [U \cdot x = y):
Substituindo (x_3] na segunda equação:
E na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é x = 1725 , y = 2 e z = 2 .

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