Faça o mapa de contorno da função mostrando algumas curvas de nível.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado nos pede o mapa de contorno (ou linhas de nível) da função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
Isto envolve traçar, no plano (x,y), as curvas em que f(x,y)=k para vários valores de k. Cada curva de nível será um conjunto de pontos que satisfazem x^{2}+y^{2}=k.

Passo 2

Para um valor fixo de k\ge0, a equação da curva de nível é
x^{2}+y^{2}=k.
Esta é a equação de um círculo de centro na origem (0,0) e raio \sqrt{k}. Logo, todas as curvas de nível são círculos concêntricos em torno da origem.

Passo 3

Escolhemos alguns valores de k para desenhar as curvas mais representativas, por exemplo:
k=1,\;2,\;3,\;4.
Os respectivos raios são
\sqrt{1}=1,\quad \sqrt{2},\quad \sqrt{3},\quad \sqrt{4}=2.

Passo 4

Para esboçar o mapa de contorno:
  1. Desenhe o círculo de raio 1 centrado em (0,0) e rotule-o com k=1.
  2. Desenhe o círculo de raio \sqrt{2} e identifique-o com k=2.
  3. Repita para o círculo de raio \sqrt{3} rotulado k=3 e o de raio 2 rotulado k=4.
    As curvas formam círculos concêntricos, com espaçamento crescente conforme o raio cresce.

Resposta

O mapa de contorno de f(x,y)=x^{2}+y^{2} é formado por círculos concêntricos de centro na origem. As curvas de nível para, por exemplo,
k=1,2,3,4
são os círculos de raios
\sqrt{1}=1,\\ \sqrt{2},\\ \sqrt{3},\\\ 2
respectivamente, cada um rotulado com seu valor de k.

Exercícios relacionados