Determine a velocidade máxima de um escoamento laminar completamente desenvolvido, sabendo que a velocidade média do escoamento vale .
Passo 1
O enunciado pede a velocidade máxima de um escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo, sabendo que a velocidade média vale . Em escoamento laminar interno, a distribuição de velocidades é parabólica (fluxo de Poiseuille) e há uma relação simples entre velocidade média e máxima.
Passo 2
Em escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo de raio , a velocidade local é dada por
onde é a distância ao centro do tubo e é a velocidade no eixo ().
Passo 3
A velocidade média é obtida integrando u(r) sobre a seção transversal e dividindo pela área:
u =1pi R^2integral0^R2pi r,u(r),dr =2R^2integral0^Rr,umaxl[1-l(tfracrRr)^2r]dr
Passo 4
Calculando a integral:
u =2umaxR^2integral0^Rl(r - r^3R^2r)dr =2umaxR^2l[r^22-r^44R^2r]0^R =2umaxR^2l(R^22-R^24r) =umax2