Determine a velocidade de uma partícula (como fração da velocidade da luz no vácuo c e em m/s) na qual a massa de partículas m(v) se torna
o quádruplo de sua massa de repouso m_{0}

Passo 1

O enunciado pede para achar a velocidade v tal que a massa relativística
m(v)=\frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}
se torne quatro vezes a massa de repouso m_{0}. Vamos usar a definição de massa relativística e algebra para isolar v.

Passo 2

Impondo m(v)=4m_{0}, escrevemos
4m_{0} = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}
Cancelamos m_{0} e invertemos ambos os lados:
4 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Elevando ao quadrado e resolvendo para \frac{v^{2}}{c^{2}}:
1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{1}{16} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{c} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\approx0{,}9682.

Passo 4

Para obter v em metros por segundo, usamos c\approx3{,}00\times10^{8}\,\text{m/s}:
v = \frac{\sqrt{15}}{4}\,c \approx0{,}9682\times3{,}00\times10^{8}\,\text{m/s} \approx2{,}90\times10^{8}\,\text{m/s}.

Resposta

v\approx0{,}9682\,c, ou seja, v\approx2{,}90\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

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