Determine a verdade ou falsidade das afirmativas
Para os conjuntos A=2 n: n in Z e B= 2 n-1: n in Z,
A cup B=Z ; R: V

Passo 1

O enunciado define os conjuntos
A = 2n : n in Z, B = 2n-1 : n in Z
e pede para verificar se
A cup B = Z
O conteúdo envolve noções de conjuntos, união e paridade de inteiros.

Passo 2

Para mostrar Acup Bsubseteq Z, note que todo elemento de A é da forma 2n com ninZ e todo elemento de B é da forma 2n-1 com ninZ. Em ambos os casos o resultado é um inteiro, logo
Asubseteq Z e Bsubseteq Z Longrightarrow Acup Bsubseteq Z

Passo 3

Para mostrar Zsubseteq Acup B, tome um inteiro genérico k.
  • Se k for par, então existe ninZ tal que k=2n, logo kin A.
  • Se k for ímpar, então existe minZ tal que k=2m+1. Basta escolher n=m+1 para obter
2n-1 = 2(m+1)-1 = 2m+1 = k,
logo kin B.
Em ambos os casos kin Acup B, de modo que
Zsubseteq Acup B

Passo 4

Como mostramos Acup Bsubseteq Z e Zsubseteq Acup B, concluímos que
Acup B = Z
Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Resposta

V

Exercícios relacionados