Questão 1. (2,5 pontos)
Mostre que a função u(x, t)=sen(3 x) exp (-45 t) satisfaz a equação diferencial parcial
partial upartial t=5 partial^2 upartial x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,t)=sen(3x),exp(-45t)
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial parcial
partial upartial t=5,partial^2 upartial x^2
O conteúdo aqui é verificação de solução de uma equação do calor simples, e vamos precisar calcular derivadas parciais em t e em x.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada parcial de u em relação a t. Como sen(3x) é tratado como constante ao derivar em t, e exp(-45t) tem derivada -45exp(-45t), obtemos
partial upartial t =sen(3x),ddtl(exp(-45t)r) =sen(3x),(-45)exp(-45t) =-45,sen(3x),exp(-45t)

Passo 3

Agora vamos a partial^2u/partial x^2. Primeiro,
partial upartial x =ddxl[sen(3x)r]exp(-45t) =3cos(3x),exp(-45t)
Derivando novamente em x,
partial^2 upartial x^2 =ddxl[3cos(3x)r]exp(-45t) =-9,sen(3x),exp(-45t)

Passo 4

Multiplicando partial^2u/partial x^2 por 5, vem
5,partial^2 upartial x^2 =5l[-9,sen(3x),exp(-45t)r] =-45,sen(3x),exp(-45t),
que coincide exatamente com partial u/partial t encontrado no Passo 2. Logo a igualdade da equação diferencial parcial está verificada.

Resposta

A função u(x,t)=sen(3x)exp(-45t) satisfaz
partial upartial t=5,partial^2 upartial x^2

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