Questão 1. (2,5 pontos)
Ache a equação do plano tangente à superfície z=x^2-4 y^2, no ponto (5,2,9).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = x^2 - 4y^2
no ponto (5,2,9).
Esse é um problema de cálculo de derivadas parciais e aplicação da fórmula do plano tangente para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para uma superfície dada por z=f(x,y), as derivadas parciais são
fx(x,y)=partial zpartial x=2x, fy(x,y)=partial zpartial y=-8y
Avaliaremos em (x0,y0)=(5,2):
fx(5,2)=2cdot5=10, fy(5,2)=-8cdot2=-16

Passo 3

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(5,2,9) e as derivadas:
z - 9 = 10,(x-5) - 16,(y-2)
Expandindo e simplificando:
z - 9 = 10x -50 -16y +32 = 10x -16y -18
Longrightarrow z = 10x -16y -9

Resposta

z = 10x - 16y - 9

Exercícios relacionados