Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraexemplo ou corrija.
(a) Se f é contínua em x=3, então f é derivável em x=3. FALSO
(b) Se f(2)=g(2), então f^prime(2)=g^prime(2). FALSO
(c) Se f^prime(1)>0, então f(1)>0. FALSO

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos cada afirmação sobre continuidade, derivabilidade, igualdade de valores e sinal da derivada. Vamos usar conceitos básicos de análise: continuidade não implica derivabilidade, igualar valores num ponto não força igualdade das derivadas, e o sinal da derivada em um ponto diz respeito ao crescimento local, não ao sinal do valor da função.

Passo 2

Afirmação (a): “Se f é contínua em x=3, então f é derivável em x=3.”
Contraexemplo clássico: considere
f(x)=lvert x-3rvert
Essa função é contínua em x=3 (pois limxto3f(x)=0=f(3)), mas não é derivável em x=3 porque as derivadas laterais são
limhto0^+f(3+h)-f(3)h=1 e
limhto0^-f(3+h)-f(3)h=-1,
logo não coincidem.

Passo 3

Afirmação (b): “Se f(2)=g(2), então f'(2)=g'(2).”
Basta achar duas funções que coincidem em x=2 mas têm tangentes diferentes. Por exemplo,
f(x)=x^2, g(x)=x^2+(x-2)
Em x=2 temos f(2)=4 e g(2)=4, mas
f'(x)=2ximplies f'(2)=4,
g'(x)=2x+1implies g'(2)=5,
portanto f'(2)neq g'(2).

Passo 4

Afirmação (c): “Se f'(1)>0, então f(1)>0.”
A derivada positiva em x=1 só diz que a função está subindo naquele ponto, não que o valor seja positivo. Um contraexemplo simples é
f(x)=x-2
Aqui f'(x)=1>0 para todo x, então f'(1)=1>0, mas f(1)=1-2=-1<0.

Resposta

(a) FALSO. Por exemplo f(x)=|x-3| é contínua em 3 mas não derivável ali.
(b) FALSO. Por exemplo f(x)=x^2 e g(x)=x^2+(x-2) dão f(2)=g(2) mas f'(2)=4neq5=g'(2).
(c) FALSO. Por exemplo f(x)=x-2 tem f'(1)=1>0 mas f(1)=-1.

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