Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraexemplo ou corrija.
(a) Se
é contínua em
, então
é derivável em
. FALSO
(b) Se
, então
. FALSO
(c) Se
, então
. FALSO
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede para avaliarmos cada afirmação sobre continuidade, derivabilidade, igualdade de valores e sinal da derivada. Vamos usar conceitos básicos de análise: continuidade não implica derivabilidade, igualar valores num ponto não força igualdade das derivadas, e o sinal da derivada em um ponto diz respeito ao crescimento local, não ao sinal do valor da função.
Passo 2
Afirmação (a): “Se
é contínua em
, então
é derivável em
.”
Contraexemplo clássico: considere
Contraexemplo clássico: considere
Essa função é contínua em
(pois
), mas não é derivável em
porque as derivadas laterais são
e
,
logo não coincidem.
logo não coincidem.
Passo 3
Afirmação (b): “Se
, então
.”
Basta achar duas funções que coincidem em mas têm tangentes diferentes. Por exemplo,
Basta achar duas funções que coincidem em
Em
temos
e
, mas
portanto
.
Passo 4
Afirmação (c): “Se
, então
.”
A derivada positiva em só diz que a função está subindo naquele ponto, não que o valor seja positivo. Um contraexemplo simples é
A derivada positiva em
Aqui
para todo
, então
, mas
.
Resposta
(a) FALSO. Por exemplo
é contínua em 3 mas não derivável ali.
(b) FALSO. Por exemplo e
dão
mas
.
(c) FALSO. Por exemplo tem
mas
.
(b) FALSO. Por exemplo
(c) FALSO. Por exemplo