Questão 5 (2.0 pts)
Aproxime cos( 3^9 ) com precisão de três casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede aproximar cos(3^9) com precisão de três casas decimais. O conteúdo que vamos usar envolve a periodicidade do cosseno e uma expansão em série de Taylor para obter um valor numérico aproximado.

Passo 2

Primeiro, calculamos
3^9 = 19683
Como cos é periódico de período 2pi, temos
cos(19683)=cosl(19683 bmod 2pir)
Vamos achar o resto da divisão de 19683 por 2pi.
k = lfloor 196832pirfloor = 3132,
r = 19683 - 3132cdot2pi approx 19683 - 3132times6.283185307 = 4.063618
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cos(19683)=cos(r)

Passo 3

Observando que r> pi, escrevemos
r = pi + theta,
com
theta = r - pi approx 4.063618 - 3.141593 = 0.922026
Então, pela fórmula de cosseno de soma,
cos(r) = cos(pi + theta) = -cos(theta)

Passo 4

Para aproximar cos(theta), usamos a série de Taylor centrada em zero até o termo de ordem 6:
cos(theta)approx 1 - theta^22! + theta^44! - theta^66!
Com thetaapprox 0.922026, calculamos
theta^2approx 0.850134, theta^4approx 0.722727, theta^6approx 0.614315,
cos(theta)approx 1 - 0.8501342 + 0.72272724 - 0.614315720 = 1 - 0.425067 + 0.030114 - 0.000853 approx 0.604194
Portanto
cos(r) = -cos(theta) approx -0.604194

Resposta

-0.604

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