Questão 4 (2.5 pts)
(a) Determine a série de Maclaurin de
(b) Use a série de Maclaurin obtida no item (a) para determinar
e
.
(c) O que podemos dizer sobre o valor de
?
(a) Determine a série de Maclaurin de
(c) O que podemos dizer sobre o valor de
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
(a) sua série de Maclaurin; (b) a partir dessa série, calcular
e
; (c) interpretar em geral
.
Conteúdo usado: expansão em série de potências (série geométrica) e relação entre coeficientes de Maclaurin e derivadas.
Conteúdo usado: expansão em série de potências (série geométrica) e relação entre coeficientes de Maclaurin e derivadas.
Passo 2
Reescrevemos
Como para
vale a série geométrica
fazemos
e obtemos
Passo 3
Multiplicando por
dá
Logo a série de Maclaurin é
Passo 4
Na forma geral de Maclaurin
sabemos que
Aqui
se
é ímpar e
se
é par.
Portanto
Portanto
Passo 5
Em geral o coeficiente é ímpar},\ 0 & se
é par. \end{cases}]
Resposta
(a) é ímpar}, \ 0 & se
é par. \end{cases})