Questão 4 (2.5 pts)
(a) Determine a série de Maclaurin de
f(x)=x1-x^2
(b) Use a série de Maclaurin obtida no item (a) para determinar f^(5)(0) e f^(6)(0).
(c) O que podemos dizer sobre o valor de f^(n)(0) ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função
f(x)=x1-x^2,:
(a) sua série de Maclaurin; (b) a partir dessa série, calcular f^(5)(0) e f^(6)(0); (c) interpretar em geral f^(n)(0).
Conteúdo usado: expansão em série de potências (série geométrica) e relação entre coeficientes de Maclaurin e derivadas.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=xcdot11-x^2,
Como para |x|<1 vale a série geométrica
11-u=sumk=0^inftyu^k,
fazemos u=x^2 e obtemos
11-x^2=sumk=0^inftyx^2k

Passo 3

Multiplicando por x
f(x)=xsumk=0^inftyx^2k =sumk=0^inftyx^2k+1 =x + x^3+x^5+cdots
Logo a série de Maclaurin é
sumk=0^inftyx^2k+1

Passo 4

Na forma geral de Maclaurin
f(x)=sumn=0^infty anx^n,
sabemos que
f^(n)(0)=n!,an
Aqui an=1 se n é ímpar e an=0 se n é par.
Portanto
f^(5)(0)=5!cdot1=120, f^(6)(0)=6!cdot0=0

Passo 5

Em geral o coeficiente é ímpar},\ 0 & se é par. \end{cases}]

Resposta

(a) é ímpar}, \ 0 & se é par. \end{cases})

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