Determine se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
A \cap B \cap C=A \cap B \cap(C \cup B);

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer conjuntos A, B e C, vale a igualdade
A \cap B \cap C \;=\; A \cap B \cap (C \cup B).
O conteúdo é Álgebra de Conjuntos, vamos usar propriedades de inclusão e união/interseção para analisar.

Passo 2

Mostramos primeiro que sempre
A \cap B \cap C \subseteq A \cap B \cap (C \cup B).
De fato, como C \subseteq C \cup B, se x\in A\cap B\cap C então x\in A, x\in B e x\in C, e daí também x\in C\cup B. Logo x\in A\cap B\cap(C\cup B).

Passo 3

Agora tentamos A \cap B \cap (C \cup B)\subseteq A \cap B \cap C. Se x\in A\cap B\cap(C\cup B), então
  1. x\in A
  2. x\in B
  3. x\in C\cup B, ou seja, x\in C ou x\in B.
Mas o fato de x\in B não garante que x\in C. Logo um elemento de A\cap B\cap(C\cup B) pode não estar em C, e assim nem sempre pertence a A\cap B\cap C.

Passo 4

Para evidenciar, dê um contra-exemplo simples:
Tome
A = \{1,2\},\quad B=\{1,3\},\quad C=\{3\}.
Então
A\cap B = \{1\},\quad A\cap B\cap C = \varnothing,
enquanto
C\cup B = \{1,3\},\quad A\cap B\cap(C\cup B) = \{1\}.
Como \varnothing \neq \{1\}, a igualdade falha.

Resposta

Falso.

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