Sejam A, B e C subconjuntos de um mesmo conjunto universo E. Prove que:
C-(A \cap B)=(C-A) \cup(C-B).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade de conjuntos
C - (A \cap B) \;=\;(C - A)\;\cup\;(C - B).
Aqui usamos as definições:
x\in C - (A\cap B) significa “ x\in C e x\notin A\cap B”.
x\in C - A significa “ x\in C e x\notin A”, e analogamente para C - B.
Também vamos usar a lei lógica de De Morgan \neg(p\land q)\equiv(\neg p)\lor(\neg q).

Passo 2

Mostramos primeiro que
C - (A \cap B)\;\subseteq\;(C - A)\cup(C - B).
Seja x\in C - (A\cap B). Então
  1. x\in C,
  2. x\notin A\cap B, ou seja \neg\bigl(x\in A\wedge x\in B\bigr).
    Pela lei de De Morgan segue
x\notin A\cap B\quad\Longrightarrow\quad\bigl(x\notin A\bigr)\;\lor\;\bigl(x\notin B\bigr).
Portanto existem duas possibilidades:
  • Se x\notin A, então de (1) e x\notin A vem x\in C - A.
  • Se x\notin B, então de (1) e x\notin B vem x\in C - B.
    Em qualquer caso x\in(C - A)\cup(C - B).

Passo 3

Agora mostramos a inclusão inversa
(C - A)\cup(C - B)\;\subseteq\;C - (A \cap B).
Seja x\in(C - A)\cup(C - B). Então ou
  • x\in C - A, ou
  • x\in C - B.
Caso 1: x\in C - A. Logo x\in C e x\notin A. Mas então \neg\bigl(x\in A\wedge x\in B\bigr), i.e. x\notin A\cap B. Assim x\in C e x\notin A\cap B, logo x\in C - (A\cap B).
Caso 2: x\in C - B. De modo análogo obtemos x\in C e x\notin A\cap B, logo x\in C - (A\cap B).
Em ambos os casos x\in C - (A\cap B).

Resposta

Pelas duas inclusões temos
C - (A \cap B)\;=\;(C - A)\;\cup\;(C - B).

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