Sejam
e
subconjuntos de um mesmo conjunto universo
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade de conjuntos
Aqui usamos as definições:
– significa “
e
”.
– significa “
e
”, e analogamente para
.
Também vamos usar a lei lógica de De Morgan .
–
–
Também vamos usar a lei lógica de De Morgan
Passo 2
Mostramos primeiro que
Seja
. Então
-
, -
, ou seja .
Pela lei de De Morgan segue
Portanto existem duas possibilidades:
- Se
, então de (1) e vem . - Se
, então de (1) e vem .
Em qualquer caso.
Passo 3
Agora mostramos a inclusão inversa
Seja
. Então ou
-
, ou -
.
Caso 1:
. Logo
e
. Mas então
, i.e.
. Assim
e
, logo
.
Caso 2:
. De modo análogo obtemos
e
, logo
.
Em ambos os casos
.
Resposta
Pelas duas inclusões temos