Determine se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
A \cup B=A \cup C \Longrightarrow B=C.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas três partes quaisquer A, B e C, se
A \cup B \;=\; A \cup C
então deveríamos ter B=C. O tema aqui é operação de união de conjuntos e a ideia de testar se essa implicação é válida em geral.

Passo 2

Para mostrar que uma afirmação do tipo “se P então Q” é falsa, basta encontrar um contra-exemplo: conjuntos A, B e C tais que A\cup B=A\cup C mas ainda assim B\neq C. A chave é incluir em C elementos que já estão em A, de modo que a união não mude, mas C fique estritamente maior que B.

Passo 3

Considere por exemplo
A = \{1\},\quad B = \{2\},\quad C = \{1,2\}.
Então
A\cup B = \{1\}\cup\{2\} = \{1,2\},
e
A\cup C = \{1\}\cup\{1,2\} = \{1,2\}.
Logo A\cup B = A\cup C, mas claramente B = \{2\}\neq\{1,2\} = C.

Resposta

A afirmação é falsa.

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