Sejam
e
subconjuntos de um mesmo conjunto universo
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para dois subconjuntos
de um mesmo universo
, vale a equivalência
O conteúdo é teoria de conjuntos, e vamos usar:
além da definição de subconjunto:
significa que todo elemento de
pertence a
.
Passo 2
Prova de
. Suponha
. Se existisse
, então
e
. Mas
garante que todo
está em
, o que contradiz
. Logo não há nenhum elemento em
, ou seja,
Passo 3
Prova de
. Suponha
. Para mostrar
, seja
. Se por acaso
, então
, mas isso é impossível já que
é vazio. Portanto a hipótese
falha, e devemos ter
. Concluímos que todo
também está em
, isto é,
.
Passo 4
Juntando as duas direções, estabelecemos a equivalência desejada.