Sejam A, B e C subconjuntos de um mesmo conjunto universo E. Prove que:
A \subset B \Longleftrightarrow A-B=\varphi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para dois subconjuntos A,B de um mesmo universo E, vale a equivalência
A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad A - B = \emptyset.
O conteúdo é teoria de conjuntos, e vamos usar:
A - B = \{\,x\in A \mid x\notin B\},
além da definição de subconjunto: A\subseteq B significa que todo elemento de A pertence a B.

Passo 2

Prova de \,A\subseteq B\implies A-B=\emptyset. Suponha A\subseteq B. Se existisse x\in A-B, então x\in A e x\notin B. Mas A\subseteq B garante que todo x\in A está em B, o que contradiz x\notin B. Logo não há nenhum elemento em A-B, ou seja,
A - B = \emptyset.

Passo 3

Prova de A-B=\emptyset\implies A\subseteq B. Suponha A - B = \emptyset. Para mostrar A\subseteq B, seja x\in A. Se por acaso x\notin B, então x\in A-B, mas isso é impossível já que A-B é vazio. Portanto a hipótese x\notin B falha, e devemos ter x\in B. Concluímos que todo x\in A também está em B, isto é, A\subseteq B.

Passo 4

Juntando as duas direções, estabelecemos a equivalência desejada.

Resposta

A\subseteq B se e somente se A - B = \emptyset.)

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