Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se
é definido, então f é contínua em
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações dadas:
- A hipótese da implicação é que o valor
existe (ou seja, pertence ao domínio de ). - A conclusão requerida pela afirmação é que
é contínua em .
O trabalho aqui é ou provar que essa implicação vale para qualquer função
(mostrar que é Verdadeira), ou apresentar um contraexemplo onde
está definido mas
não é contínua em
(mostrar que é Falsa).
Passo 2
Precisamos lembrar a definição de continuidade num ponto — isso é crucial para entender por que a mera existência de
não garante continuidade.
Definição (intuitiva):
é contínua em
quando os valores
para
próximos de
ficam próximos de
.
Definição formal (épsilon‑delta):
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que
Aqui:
-
representa “quão perto” queremos que esteja de ; -
representa “quão perto” precisamos escolher de para garantir isso.
Outra forma equivalente:
é contínua em
se e somente se
Ou seja, além de
existir, é preciso que o limite de
quando
se aproxima de
exista e seja igual a
. Note que a hipótese "
é definido" só garante a primeira parte (o valor existe), não diz nada sobre o limite.
Passo 3
Para decidir se a afirmação do enunciado é verdadeira, veja a lógica:
- Se fosse verdadeira, toda função que tiver valor definido em
seria necessariamente contínua ali. Isso é uma afirmação muito forte. - Uma forma mais simples de mostrar que a afirmação é falsa é apresentar um contraexemplo: uma função com
definido mas que não satisfaz a condição de continuidade (ou seja, ou o limite nem existe).
Vou construir um contraexemplo simples e comum que mostra exatamente isso.
Passo 4
Considere a função
Escolhemos
está bem definido, então a hipótese do enunciado se cumpre.]
Passo 5
Calcular o limite
.
Para todo
diferente de
temos
. Logo, quando
se aproxima de
por valores distintos de
, as imagens
ficam sempre iguais a
. Portanto o limite é
. Formalmente, para qualquer
e qualquer
, se
então
e
o que prova que
.
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função em
:
Como esses números são diferentes, a condição de continuidade
falha. Portanto
não é contínua em
, embora
esteja definido.
Isso é exatamente um contraexemplo que demonstra que a implicação do enunciado é falsa.
Passo 7
Comentário final (dica prática para a prova): para mostrar que uma implicação do tipo ``se
então
‘’ é falsa, basta encontrar uma função que satisfaça a hipótese mas viole a conclusão. Para mostrar que é verdadeira, seria preciso provar que toda função que satisfaz a hipótese também satisfaz a conclusão (muito mais forte). Aqui o contraexemplo acima é curto e suficiente.
Resposta
F