Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se f(a) é definido, então f é contínua em a.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\text{``Se }f(a)\text{ é definido, então }f\text{ é contínua em }a.''éãéí
Informações dadas:
  • A hipótese da implicação é que o valor f(a) existe (ou seja, a pertence ao domínio de f).
  • A conclusão requerida pela afirmação é que f é contínua em a.
O trabalho aqui é ou provar que essa implicação vale para qualquer função f (mostrar que é Verdadeira), ou apresentar um contraexemplo onde f(a) está definido mas f não é contínua em a (mostrar que é Falsa).

Passo 2

Precisamos lembrar a definição de continuidade num ponto — isso é crucial para entender por que a mera existência de f(a) não garante continuidade.
Definição (intuitiva): f é contínua em a quando os valores f(x) para x próximos de a ficam próximos de f(a).
Definição formal (épsilon‑delta): f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
\text{se }|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-f(a)|<\varepsilon.ã
Aqui:
  • \varepsilon representa “quão perto” queremos que f(x) esteja de f(a);
  • \delta representa “quão perto” precisamos escolher x de a para garantir isso.
Outra forma equivalente: f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Ou seja, além de f(a) existir, é preciso que o limite de f(x) quando x se aproxima de a exista e seja igual a f(a). Note que a hipótese " f(a) é definido" só garante a primeira parte (o valor existe), não diz nada sobre o limite.

Passo 3

Para decidir se a afirmação do enunciado é verdadeira, veja a lógica:
  • Se fosse verdadeira, toda função que tiver valor definido em a seria necessariamente contínua ali. Isso é uma afirmação muito forte.
  • Uma forma mais simples de mostrar que a afirmação é falsa é apresentar um contraexemplo: uma função com f(a) definido mas que não satisfaz a condição de continuidade (ou seja, \lim_{x\to a}f(x)\neq f(a) ou o limite nem existe).
Vou construir um contraexemplo simples e comum que mostra exatamente isso.

Passo 4

Considere a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq 0,\\[4pt] 0, & x=0. \end{cases}
Escolhemos a=0\]. Observe que \(\;f(0)=0 está bem definido, então a hipótese do enunciado se cumpre.]

Passo 5

Calcular o limite \lim_{x\to 0} f(x).
Para todo x diferente de 0 temos f(x)=1. Logo, quando x se aproxima de 0 por valores distintos de 0, as imagens f(x) ficam sempre iguais a 1. Portanto o limite é 1. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 e qualquer \delta>0, se 0<|x-0|<\delta então f(x)=1 e
|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon,
o que prova que \lim_{x\to 0} f(x)=1.

Passo 6

Comparando o limite com o valor da função em 0:
\lim_{x\to 0} f(x)=1\quad\text{e}\quad f(0)=0.
Como esses números são diferentes, a condição de continuidade \lim_{x\to 0} f(x)=f(0) falha. Portanto f não é contínua em 0, embora f(0) esteja definido.
Isso é exatamente um contraexemplo que demonstra que a implicação do enunciado é falsa.

Passo 7

Comentário final (dica prática para a prova): para mostrar que uma implicação do tipo ``se \text{Hipótese}ó então \text{Conclusão}ã‘’ é falsa, basta encontrar uma função que satisfaça a hipótese mas viole a conclusão. Para mostrar que é verdadeira, seria preciso provar que toda função que satisfaz a hipótese também satisfaz a conclusão (muito mais forte). Aqui o contraexemplo acima é curto e suficiente.

Resposta

F

Exercícios relacionados