As diagonais de um paralelogramo interceptam-se no ponto M(-2,4). Dados os vértices A(4,1) e B(2,3), derermine os outros dois vértices.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um paralelogramo cujas diagonais se interceptam em M(-2,4). Sabemos os vértices A(4,1) e B(2,3) e precisamos achar os outros dois vértices. O conteúdo aqui é geometria analítica de paralelogramo, usando a propriedade de que as diagonais se bissetam em seu ponto médio. Para resolver, vamos aplicar a fórmula do ponto médio em coordenadas.

Passo 2

Para encontrar o vértice oposto a A, chamaremos esse vértice de C. Como M é o ponto médio de AC, vale
(xA+xC2,,yA+yC2)=l(xM,yMr)
Isso implica
xC=2xM-xA, yC=2yM-yA
Substituindo xA=4, yA=1, xM=-2, yM=4 obtemos xC=-8 e yC=7.

Passo 3

Para encontrar o vértice oposto a B, chamaremos esse vértice de D. De modo análogo, como M é o ponto médio de BD, temos
(xB+xD2,,yB+yD2)=l(xM,yMr),
o que leva a
xD=2xM-xB, yD=2yM-yB
Com xB=2, yB=3, xM=-2, yM=4 encontramos xD=-6 e yD=5.

Resposta

Os outros dois vértices são C(-8,7) e D(-6,5).

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