Num triângulo ABC sāo dados o ponto A(2,1), o ponto M(72, 3) que é ponto médio do lado A B, e ponto N(4, 52) que é ponto médio do lado AC . Determine os fértices B e C e calcule o perímetro do triângulo ABC .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo ABC onde o ponto A está nas coordenadas (2,1). Também sabemos onde ficam os pontos M e N, que são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir as coordenadas dos vértices B e C e, depois, calcular o perímetro desse triângulo. Para isso, vamos usar a fórmula do ponto médio e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto B. Sabemos que M é o ponto médio de AB, então podemos usar a fórmula do ponto médio:
M = ( Ax + Bx2, Ay + By2 )
Substituindo os valores que temos:
( 2 + Bx2, 1 + By2 ) = ( 72, 3 )
Isso nos dá duas equações:
2 + Bx2 = 72 e 1 + By2 = 3
Resolvendo a primeira:
2 + Bx = 7 implies Bx = 5
E a segunda:
1 + By = 6 implies By = 5
Então, as coordenadas de B são (5,5).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto C usando o ponto médio N. A fórmula do ponto médio é:
N = ( Ax + Cx2, Ay + Cy2 )
Substituindo os valores:
( 2 + Cx2, 1 + Cy2 ) = ( 4, 52 )
Isso também nos dá duas equações:
2 + Cx2 = 4 e 1 + Cy2 = 52
Resolvendo a primeira:
2 + Cx = 8 implies Cx = 6
E a segunda:
1 + Cy = 5 implies Cy = 4
Portanto, as coordenadas de C são (6,4).

Passo 4

Agora que temos todas as coordenadas dos vértices A(2,1), B(5,5) e C(6,4), vamos calcular o perímetro do triângulo ABC. Para isso, precisamos encontrar as distâncias entre cada par de pontos e somá-las. A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Calculando AB:
dAB = raiz(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2 = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Calculando BC:
dBC = raiz(6 - 5)^2 + (4 - 5)^2 = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1,414
Calculando CA:
dCA = raiz(6 - 2)^2 + (4 - 1)^2 = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5

Resposta

O perímetro do triângulo ABC é:
5 + raiz2 + 5 approx 5 + 1,414 + 5 = 11,414 unidades

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