Determine se o vetor (3,6,9,12) pertence ao subespaço gerado por S=(1,2,3,4),(0,1,1,1).

Passo 1

O enunciado quer saber se o vetor (3,6,9,12) pertence ao subespaço de R^4 gerado por
S = (1,2,3,4),,(0,1,1,1)
O conteúdo aqui é verificar ocorrência de um vetor em um subespaço por meio de combinação linear dos geradores.

Passo 2

Para estar no subespaço spanned por S, deve existir escalares a e b tais que
a,(1,2,3,4) ;+; b,(0,1,1,1) ;=;(3,6,9,12)
Igualando componente a componente formamos o sistema
a + 0,b = 3, 2a + b = 6, 3a + b = 9, 4a + b = 12

Passo 3

Da primeira equação vem imediatamente
a = 3
Substituindo em 2a + b = 6 temos
2cdot 3 + b = 6 Longrightarrow b = 0
Verificando nas outras duas equações:
3a + b = 3cdot3 + 0 = 9, 4a + b = 4cdot3 + 0 = 12,
tudo confere sem contradição. Logo existe combinação linear.

Resposta

Sim. De fato
(3,6,9,12) = 3,(1,2,3,4) + 0,(0,1,1,1),
portanto pertence ao subespaço gerado por S.

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