Mostre que o conjunto S=sen(x), cos (x), sen(2 x) é um subconjunto linearmente dependente do espaço de todas as funções reais.

Passo 1

Temos o conjunto
S = sin(x),,cos(x),,sin(2x)
no espaço vetorial de todas as funções RtoR, sobre o corpo R. Queremos testar se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a,sin(x) + b,cos(x) + c,sin(2x) = 0
para todo x.

Passo 2

Assuma que
a,sin(x) + b,cos(x) + c,sin(2x) = 0
para todo x. Vamos encontrar a,b,c.

Passo 3

Escolhendo x=0 na combinação, obtemos
acdot 0 + bcdot 1 + ccdot 0 = 0 Longrightarrow b = 0
Em seguida, tomando x=tfracpi2, vem
acdot 1 + bcdot 0 + ccdot 0 = 0 Longrightarrow a = 0
Com a=0 e b=0, a identidade reduz-se a
c,sin(2x) = 0 forall x,
o que força c=0.

Passo 4

Encontramos que a única solução é a=b=c=0.

Resposta

O conjunto S é, na verdade, linearmente independente, pois a única combinação linear que dá a função zero é a combinação trivial. Portanto, a afirmação de que S seria linearmente dependente é falsa.

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