Determine se os vetores v1=(1,2,3), v2=(2,4,6) e v3=(0,1,1) em R^3 são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=(1,2,3), v2=(2,4,6) e v3=(0,1,1) em R^3 são linearmente independentes.
Conteúdo: definição de independência linear em espaços vetoriais. Precisamos usar a ideia de combinação linear que leva ao vetor nulo.

Passo 2

Pela definição, eles seriam independentes se a única solução do sistema
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0
fosse alpha=beta=gamma=0. Para mostrar dependência, basta encontrar uma solução não trivial.

Passo 3

Observamos que
v2 = 2,v1.
Logo,
2,v1 - 1,v2 + 0,v3 = 0,
é uma combinação não trivial (coeficientes alpha=2, beta=-1, gamma=0 nem todos zero) que gera o vetor nulo.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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