Seja
o espaço das funções reais definidas em
e
. Mostre que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço de todas as funções reais de variável real e
Precisamos mostrar que
é subespaço de
, isto é, que (i)
, (ii) se
então
, e (iii) se
e
então
.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo a função zero. Seja
para todo
. Então
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos
. Então, por hipótese,
Então para a soma
temos
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Definimos
. Como
segue
.