Seja V o espaço das funções reais definidas em R e W=f in V: f^prime(x)+f(x)=0. Mostre que W é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço de todas as funções reais de variável real e
W = ,fin V : f'(x) + f(x) = 0 para todo xinR
Precisamos mostrar que W é subespaço de V, isto é, que (i) Wneqemptyset, (ii) se f,gin W então f+gin W, e (iii) se fin W e alphainR então alpha fin W.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo a função zero. Seja 0(x)=0 para todo x. Então
0'(x)+0(x)=0+0=0,
logo 0in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos f,gin W. Então, por hipótese,
f'(x)+f(x)=0, g'(x)+g(x)=0
Então para a soma h=f+g temos
h'(x)+h(x) =(f+g)'(x)+(f+g)(x) =f'(x)+g'(x)+f(x)+g(x) =0+0 =0
Portanto f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja fin W e alphainR. Definimos h(x)=alpha f(x). Como
h'(x)+h(x) =(alpha f)'(x)+alpha f(x) =alpha f'(x)+alpha f(x) =alphal(f'(x)+f(x)r) =alphacdot 0 =0,
segue hin W.

Resposta

W é um subespaço de V.

Exercícios relacionados