Sendo o módulo do vetor campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas sobre o eixo
, a uma distância de 2 m deste, dado por
, determine a densidade linear de cargas
.
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição linear de cargas ao longo do eixo
e pede para determinar a densidade linear de carga
. Informações fornecidas:
- Módulo do campo elétrico a uma distância de
do eixo: . - Distância até a distribuição (raio considerado):
. - Pedido: encontrar
(densidade linear de carga, em ).
Passo 2
Escolhemos um procedimento baseado em simetria e na Lei de Gauss — vou te ensinar do zero porque é a forma mais direta para linhas com simetria cilíndrica. Primeiro, a Lei de Gauss diz:
onde:
-
é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (soma da componente de normal a cada área infinitesimal ), -
é a carga total dentro dessa superfície, -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
Agora a ideia prática: para uma linha infinita de carga ao longo do eixo
o campo elétrico tem simetria cilíndrica — isto é, o campo só depende da distância radial
e aponta radialmente para fora/para dentro. Pegamos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro coaxial com raio
e comprimento
. Por que esse cilindro?
- No corpo curvo do cilindro o vetor normal é radial e tem a mesma direção que
, então e é (pela simetria) constante sobre essa superfície. - Nas tampas (os discos nas extremidades) o vetor normal é paralelo ao eixo
, enquanto é radial, então nas tampas (sem contribuição ao fluxo).
Portanto o fluxo total é somente através da superfície lateral do cilindro e vale:
A carga interna é a densidade linear vezes o comprimento:
Substituindo na Lei de Gauss:
Cancelando
(não nulo) obtemos a fórmula padrão para o campo de uma linha infinita:
Essa fórmula é muito usada em provas — memorize a forma e o raciocínio (cilindro gaussiano, fluxo pela lateral, cancelamento de
).
Passo 3
Agora vamos isolar
na fórmula acima. Reescrevendo:
Expliquei cada símbolo antes, mas recapeando:
-
é o que queremos (densidade linear, em ), -
é a permissividade do vácuo: (ou ), -
é a distância dada, -
é o campo dado.
Vamos calcular passo a passo (faço as contas de forma que dê para replicar na prova sem calculadora complexa):
Multiplicando por
:
Agora multiplicamos por
:
Para ficar numa unidade mais legível, isso é