Sendo o módulo do vetor campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas sobre o eixo z, a uma distância de 2 m deste, dado por 1,8.10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}, determine a densidade linear de cargas \lambda.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição linear de cargas ao longo do eixo z e pede para determinar a densidade linear de carga \lambda. Informações fornecidas:
  • Módulo do campo elétrico a uma distância de 2\\ \mathrm{m} do eixo: E=1,8\times 10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
  • Distância até a distribuição (raio considerado): r=2\\ \mathrm{m}.
  • Pedido: encontrar \lambda (densidade linear de carga, em \mathrm{C/m}).

Passo 2

Escolhemos um procedimento baseado em simetria e na Lei de Gauss — vou te ensinar do zero porque é a forma mais direta para linhas com simetria cilíndrica. Primeiro, a Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (soma da componente de \mathbf{E} normal a cada área infinitesimal d\mathbf{A}),
  • Q_{\text{int}} é a carga total dentro dessa superfície,
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
Agora a ideia prática: para uma linha infinita de carga ao longo do eixo z o campo elétrico tem simetria cilíndrica — isto é, o campo só depende da distância radial r e aponta radialmente para fora/para dentro. Pegamos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro coaxial com raio r e comprimento L. Por que esse cilindro?
  • No corpo curvo do cilindro o vetor normal é radial e tem a mesma direção que \mathbf{E}, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\,dA e E é (pela simetria) constante sobre essa superfície.
  • Nas tampas (os discos nas extremidades) o vetor normal é paralelo ao eixo z, enquanto \mathbf{E} é radial, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas (sem contribuição ao fluxo).
Portanto o fluxo total é somente através da superfície lateral do cilindro e vale:
\Phi = E \cdot (\text{área lateral}) = E\cdot (2\pi r L).á
A carga interna é a densidade linear vezes o comprimento:
Q_{\text{int}} = \lambda L.
Substituindo na Lei de Gauss:
E\cdot (2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L (não nulo) obtemos a fórmula padrão para o campo de uma linha infinita:
E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}.
Essa fórmula é muito usada em provas — memorize a forma e o raciocínio (cilindro gaussiano, fluxo pela lateral, cancelamento de L).

Passo 3

Agora vamos isolar \lambda na fórmula acima. Reescrevendo:
\lambda = 2\pi \varepsilon_0 r E.
Expliquei cada símbolo antes, mas recapeando:
  • \lambda é o que queremos (densidade linear, em \mathrm{C/m}),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo: \varepsilon_0=8,854\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)} (ou \mathrm{F/m}),
  • r=2\\ \mathrm{m} é a distância dada,
  • E=1,8\times 10^{4}\\ \mathrm{N/C} é o campo dado.
Vamos calcular passo a passo (faço as contas de forma que dê para replicar na prova sem calculadora complexa):
2\pi \varepsilon_0 = 2\cdot\pi\cdot 8{,}854\times 10^{-12}\\ \approx 5{,}57\times 10^{-11}.
Multiplicando por r=2\\ \mathrm{m}:
2\pi \varepsilon_0 r \approx 1{,}114\times 10^{-10}.
Agora multiplicamos por E=1{,}8\times 10^{4}:
\lambda = (1{,}114\times 10^{-10})\cdot(1{,}8\times 10^{4}) = (1{,}114\cdot 1{,}8)\times 10^{-6} \approx 2{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
Para ficar numa unidade mais legível, isso é
\lambda \approx 2{,}0\\ \mu\mathrm{C/m}.

Resposta

\lambda \approx 2{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C/m}

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