Sobre o plano
, existe uma distribuição uniforme de cargas de densidade
. Calcule o vetor campo elétrico no lado do plano que contem a origem.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Há um plano cuja equação é
. - Sobre esse plano existe uma distribuição uniforme de carga de densidade superficial
. - Devemos calcular o vetor campo elétrico
no lado do plano que contém a origem (ou seja, no ponto e, por extensão, em todo o semiespaço desse lado).
Esses são os dados relevantes e a pergunta: encontrar
no lado do plano que contém a origem.
Passo 2
Conceito essencial (a “fórmula de bolso” e por que ela vale):
- Para uma folha infinitamente extensa com densidade superficial uniforme
, o campo elétrico tem magnitude constante e é perpendicular à folha. Usando a Lei de Gauss com uma caixa cilíndrica (ou “pílula”) que atravessa a folha, obtemos a relação
onde
é a permissividade do vácuo (
). Explicando por cima: o fluxo atravessa duas faces da pílula (duas áreas
) dando
, e a carga total dentro é
, daí
.
- Direção: o campo sai da folha (aponta para fora) se
; isto é, em cada lado ele é perpendicular à folha e aponta para fora daquele lado. Em termos vetoriais, se é um versor normal ao plano definido pela equação com positivo na direção escolhida, então, do lado para onde aponta, ; do lado oposto, .
Passo 3
Achar o vetor normal e seu versor:
- Da equação do plano
extraímos o vetor normal (não unitário)
- Seu módulo é
- O versor normal é
Passo 4
Determinar de que lado da folha está a origem (para saber o sinal do campo):
- Substituímos a origem
na expressão da esquerda reduzida do plano . Aqui , , , . Calculamos
-
Como
, a origem está no semiespaço para o qual , ou seja, no lado oposto ao sentido do vetor normal (pois aponta para o semiespaço onde ). -
Conclusão importante: no lado que contém a origem o campo será
porque o campo aponta “para fora” da folha — e nesse lado “para fora” é o sentido oposto ao de
.
Passo 5
Escrever
simbolicamente e simplificar sinais:
Isso já é uma forma vetorial limpa: o fator escalar multiplicando o vetor direcional
é positivo, visto que o menos externo cancela o componente inicial
.
Passo 6
Calcular numericamente (passo a passo, sem pular contas):
- Converter
para SI:
- Usar
. - Calcular primeiro
:
- Dividir por
(que é aproximadamente ):
- Multiplicando pelo vetor direcional
obtemos os componentes:
(Arredondei cada componente com três dígitos significativos; você pode usar mais casas se preferir.)
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- O campo tem magnitude de ordem alguns newtons por coulomb (o fator pequeno de
faz o valor ficar dessa ordem). A direção é perpendicular ao plano e, como , aponta para fora da folha: do lado da origem esse “fora” corresponde ao vetor , conforme obtido. - Tudo coerente com a regra física: campo constante em módulo e perpendicular para uma folha infinita.