Sobre o plano -x+3 y-6 z=6 \mathrm{~m}, existe uma distribuição uniforme de cargas de densidade \sigma=0,53 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. Calcule o vetor campo elétrico no lado do plano que contem a origem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Há um plano cuja equação é -x + 3y - 6z = 6.
  • Sobre esse plano existe uma distribuição uniforme de carga de densidade superficial \sigma = 0,53\\ \mathrm{nC/m^{2}}.
  • Devemos calcular o vetor campo elétrico \vec{E} no lado do plano que contém a origem (ou seja, no ponto (0,0,0) e, por extensão, em todo o semiespaço desse lado).
Esses são os dados relevantes e a pergunta: encontrar \vec{E} no lado do plano que contém a origem.

Passo 2

Conceito essencial (a “fórmula de bolso” e por que ela vale):
  • Para uma folha infinitamente extensa com densidade superficial uniforme \sigma, o campo elétrico tem magnitude constante e é perpendicular à folha. Usando a Lei de Gauss com uma caixa cilíndrica (ou “pílula”) que atravessa a folha, obtemos a relação
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0 \approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}). Explicando por cima: o fluxo atravessa duas faces da pílula (duas áreas A) dando 2EA, e a carga total dentro é \sigma A, daí 2EA=\sigma A/\varepsilon_0.
  • Direção: o campo sai da folha (aponta para fora) se \sigma>0; isto é, em cada lado ele é perpendicular à folha e aponta para fora daquele lado. Em termos vetoriais, se \hat{n} é um versor normal ao plano definido pela equação ax+by+cz=d com (a,b,c) positivo na direção escolhida, então, do lado para onde \hat{n} aponta, \vec{E} = +\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{n}; do lado oposto, \vec{E} = -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{n}.

Passo 3

Achar o vetor normal e seu versor:
  • Da equação do plano -x + 3y - 6z = 6 extraímos o vetor normal (não unitário)
\vec{n} = (-1,\;3,\;-6).
  • Seu módulo é
\lVert \vec{n}\rVert = \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2} + (-6)^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 36} = \sqrt{46}.
  • O versor normal é
\hat{n} = \frac{\vec{n}}{\lVert \vec{n}\rVert} = \frac{(-1,\;3,\;-6)}{\sqrt{46}}.

Passo 4

Determinar de que lado da folha está a origem (para saber o sinal do campo):
  • Substituímos a origem (0,0,0) na expressão da esquerda reduzida do plano ax+by+cz-d. Aqui a=-1, b=3, c=-6, d=6. Calculamos
S = a\cdot0 + b\cdot0 + c\cdot0 - d = -6.
  • Como S<0, a origem está no semiespaço para o qual ax+by+cz-d<0, ou seja, no lado oposto ao sentido do vetor normal \vec{n} (pois \vec{n} aponta para o semiespaço onde ax+by+cz-d>0).
  • Conclusão importante: no lado que contém a origem o campo será
\vec{E} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{n},
porque o campo aponta “para fora” da folha — e nesse lado “para fora” é o sentido oposto ao de \hat{n}.

Passo 5

Escrever \vec{E} simbolicamente e simplificar sinais:
\vec{E} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\frac{(-1,\;3,\;-6)}{\sqrt{46}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0\sqrt{46}}\,(1,\;-3,\;6).
Isso já é uma forma vetorial limpa: o fator escalar multiplicando o vetor direcional (1,-3,6) é positivo, visto que o menos externo cancela o componente inicial -1,3,-6.

Passo 6

Calcular numericamente (passo a passo, sem pular contas):
  • Converter \sigma para SI:
\sigma = 0{,}53\\ \mathrm{nC/m^{2}} = 0{,}53\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Usar \varepsilon_0 \approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
  • Calcular primeiro \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}:
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{0{,}53\times10^{-9}}{2\cdot 8{,}854\times10^{-12}} \approx 29{,}93\\ \mathrm{N/C}.
  • Dividir por \sqrt{46} (que é aproximadamente 6{,}782):
\frac{29{,}93}{\sqrt{46}} \approx \frac{29{,}93}{6{,}782} \approx 4{,}41\\ \mathrm{N/C}.
  • Multiplicando pelo vetor direcional (1,-3,6) obtemos os componentes:
\vec{E} \approx (4{,}41,\\\ -13{,}2,\\\ 26{,}5)\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondei cada componente com três dígitos significativos; você pode usar mais casas se preferir.)

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • O campo tem magnitude de ordem alguns newtons por coulomb (o fator pequeno de \varepsilon_0 faz o valor ficar dessa ordem). A direção é perpendicular ao plano e, como \sigma>0, aponta para fora da folha: do lado da origem esse “fora” corresponde ao vetor (1,-3,6), conforme obtido.
  • Tudo coerente com a regra física: campo constante em módulo e perpendicular para uma folha infinita.

Resposta

\vec{E} \approx (4{,}41,\\\ -13{,}2,\\\ 26{,}5)\\ \mathrm{N/C}

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