Determine o vetor gradiente da função dada.
Passo 1
O problema pede para determinar o vetor gradiente da função dada. A função fornecida é
As informações relevantes que temos são: a expressão explícita de
em termos de
e
e que o que se quer é o vetor gradiente, ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 2
Lembrete do que é o gradiente: o vetor gradiente de uma função
é
Isto significa que precisamos calcular separadamente a derivada parcial de
em relação a
e a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Observando
, é útil definir uma função intermédia
, de modo que
Vamos usar a regra da cadeia para derivar
: a derivada de
em relação a uma variável é
vezes a derivada de
em relação dessa variável. Em notação de derivada parcial:
Passo 4
Agora calculamos
. Como
, aplicamos novamente a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, e então multiplicamos pela derivada da parte interna
em relação a
:
A derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) é simplesmente
. Logo,
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão para
do Passo 3, obtemos
Podemos escrever de forma mais limpa:
Passo 6
Agora calculamos
. Procedimento análogo: derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. A derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) é
. Assim
e portanto
Passo 7
Juntando as duas derivadas parciais, o vetor gradiente fica
Podemos também fatorar o fator comum
e escrever