Determine o vetor gradiente da função dada.
f(x, y)=e^{\operatorname{sen}(x y)}

Passo 1

O problema pede para determinar o vetor gradiente da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=e^{\operatorname{sen}(x y)}.
As informações relevantes que temos são: a expressão explícita de f em termos de x e y e que o que se quer é o vetor gradiente, ou seja, as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

Lembrete do que é o gradiente: o vetor gradiente de uma função f(x,y) é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Isto significa que precisamos calcular separadamente a derivada parcial de f em relação a x e a derivada parcial em relação a y.

Passo 3

Observando f, é útil definir uma função intermédia u(x,y)=\operatorname{sen}(x y), de modo que
f(x,y)=e^{u(x,y)}.
Vamos usar a regra da cadeia para derivar f: a derivada de e^{u} em relação a uma variável é e^{u} vezes a derivada de u em relação dessa variável. Em notação de derivada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 4

Agora calculamos \frac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=\operatorname{sen}(x y), aplicamos novamente a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sen}(v) em relação a v é \cos(v), e então multiplicamos pela derivada da parte interna v=x y em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos(x y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y).
A derivada parcial de x y em relação a x (tratando y como constante) é simplesmente y. Logo,
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos(x y)\cdot y.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão para \frac{\partial f}{\partial x} do Passo 3, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{\operatorname{sen}(x y)}\cdot\big(\cos(x y)\cdot y\big).
Podemos escrever de forma mais limpa:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y)\,y.

Passo 6

Agora calculamos \frac{\partial u}{\partial y}. Procedimento análogo: derivada de \operatorname{sen}(x y) em relação a y é \cos(x y) vezes a derivada de x y em relação a y. A derivada parcial de x y em relação a y (tratando x como constante) é x. Assim
\frac{\partial u}{\partial y}=\cos(x y)\cdot x,
e portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y)\,x.

Passo 7

Juntando as duas derivadas parciais, o vetor gradiente fica
\nabla f(x,y)=\big(e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y)\,y,\;e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y)\,x\big).
Podemos também fatorar o fator comum e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y) e escrever
\nabla f(x,y)=e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y)\,(y,x).

Resposta

\nabla f(x,y)=\big(e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y)\,y,\;e^{\operatorname{sen}(x y)}\cos(x y)\,x\big)

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