Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados
f(x, y, z)=x y^z no ponto (3,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=x,y^z
no ponto (3,0,-1).
Conteúdo: derivadas parciais e gradiente.
Vamos (1) calcular as derivadas parciais gerais de f e (2) verificar seu valor em (3,0,-1).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y,z)=x,y^z:
– Para partial fpartial x, tratamos y^z como constante, logo
partial fpartial x(x,y,z) = y^z
– Para partial fpartial y, usamos a regra da potência em y^z (mantendo z constante) e o fator x:
partial fpartial y(x,y,z) = x cdot z ,y^,z-1
– Para partial fpartial z, usamos a derivada de y^z=e^zln y em relação a z:
partial fpartial z(x,y,z) = x,y^z,ln y

Passo 3

O gradiente geral é
nabla f(x,y,z) = l(y^z,;x,z,y^,z-1,;x,y^zln yr)
Para avaliar em (3,0,-1), note que aparece y^z=0^-1 e ln y=ln 0.

Passo 4

Em (3,0,-1) temos y=0 e z=-1. Mas 0^-1 e ln 0 não são definidos (explodem ou não existem no real). Portanto as derivadas parciais não existem nesse ponto.

Resposta

O gradiente de f não está definido em (3,0,-1), pois as derivadas parciais envolvem 0^-1 e ln 0, que não existem no conjunto dos números reais.

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