Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^prime prime-y^prime-12 y=0, y(1)=3, y^prime(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - y' - 12y = 0, y(1)=3, y'(1)=1
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 - r - 12 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
r = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72,
logo as raízes são
r1 = 4, r2 = -3

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada para usar a condição em y'(1):
y'(x) = 4C1 e^4x - 3C2 e^-3x

Passo 5

Impondo y(1)=3 e y'(1)=1 obtemos o sistema
C1 e^4 + C2 e^-3 = 3, 4C1 e^4 - 3C2 e^-3 = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema, podemos somar 3times(primeira equação) com a segunda:
3C1 e^4 + 3C2 e^-3 = 9 e 4C1 e^4 - 3C2 e^-3 = 1 ;Longrightarrow; 7C1 e^4 = 10 ;Longrightarrow; C1 = 107e^4
Substituindo em C1 e^4 + C2 e^-3=3:
107 + C2 e^-3 = 3 ;Longrightarrow; C2 e^-3 = 117 ;Longrightarrow; C2 = 117e^3

Resposta

boxedy(x) = 107e^4,e^4x ;+;117e^3,e^-3x ;=;107e^4(x-1)+117e^3(1-x)

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