Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados
f(x, y, z)=x zy-z no ponto (3,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x,y,z)=xzy-z
no ponto (3,2,-1). Lembrando que o gradiente é
nabla f = l(partial fpartial x,;partial fpartial y,;partial fpartial zr)

Passo 2

Para partial fpartial x tratamos y e z como constantes, então
partial fpartial x =partialpartial xl(xcdotzy-zr) =zy-z

Passo 3

Para partial fpartial y diferenciamos o fator 1y-z em relação a y:
partial fpartial y =xzcdotddyl((y-z)^-1r) =-xz(y-z)^2

Passo 4

Para partial fpartial z usamos a regra do quociente ou produto, obtendo
partial fpartial z =x(y-z)+xz(y-z)^2 =xy(y-z)^2

Passo 5

No ponto (3,2,-1) temos y-z=2-(-1)=3. Logo
partial fpartial xg|(3,2,-1) =-13, partial fpartial yg|(3,2,-1) =13, partial fpartial zg|(3,2,-1) =23

Resposta

nabla f(3,2,-1)=l(-tfrac13,;tfrac13,;tfrac23r)

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