Liste os primeiros dez termos da sequência
an=nn^2+1
Esta sequência parece convergir? Se sim, indique para onde e, em caso negativo explique o porquê.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma sequência definida por
an = nn^2 + 1
O que a gente precisa fazer é listar os dez primeiros termos dessa sequência e descobrir se ela está se aproximando de algum valor específico conforme n cresce. Para isso, vamos calcular os termos um a um e depois analisar o comportamento deles conforme aumentamos n .

Passo 2

Vamos calcular os primeiros dez termos da sequência substituindo n de 1 a 10 na fórmula:
a1 &= 11^2 + 1 = 12 = 0,5 a2 &= 22^2 + 1 = 25 = 0,4 a3 &= 33^2 + 1 = 310 = 0,3 a4 &= 44^2 + 1 = 417 approx 0,235 a5 &= 55^2 + 1 = 526 approx 0,192 a6 &= 66^2 + 1 = 637 approx 0,162 a7 &= 77^2 + 1 = 750 = 0,14 a8 &= 88^2 + 1 = 865 approx 0,123 a9 &= 99^2 + 1 = 982 approx 0,11 a10 &= 1010^2 + 1 = 10101 approx 0,099

Passo 3

Agora que temos os dez primeiros termos, vamos ver se a sequência está convergindo, ou seja, se os termos estão se aproximando de um número específico conforme n cresce.
Observando os valores:
0,5; 0,4; 0,3; 0,235; 0,192; 0,162; 0,14; 0,123; 0,11; 0,099
Vemos que os termos estão diminuindo. Para confirmar se a sequência converge e para qual valor, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty nn^2 + 1
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por n^2 :
limn to infty nn^2 + 1 = limn to infty 1n1 + 1n^2 = 01 + 0 = 0
Então, o limite da sequência é zero, o que significa que a sequência converge para 0.

Resposta

Os primeiros dez termos da sequência são aproximadamente:
0,5; 0,4; 0,3; 0,235; 0,192; 0,162; 0,14; 0,123; 0,11; 0,099
A sequência converge para zero.

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