Use derivação implícita para encontrar as derivadas parciais das funções f(x, y) definidas implicitamente pelas equações F(x, y, z)=0.
raizx^2+y^2+z=10

Passo 1

O enunciado define z=f(x,y) implicitamente pela equação
raizx^2+y^2+z=10,
ou seja, podemos escrever
F(x,y,z)=raizx^2+y^2+z-10=0
Queremos encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y usando diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial xl(x^2+y^2+zr)^1/2 = 12raizx^2+y^2+zcdot 2x = xraizx^2+y^2+z,
Fy = yraizx^2+y^2+z, Fz = 12raizx^2+y^2+zcdot 1 = 12raizx^2+y^2+z

Passo 3

Pela diferenciação implícita, mantemos F(x,y,z(x,y))=0 e usamos
Fx + Fz,partial zpartial x=0, Fy + Fz,partial zpartial y=0
Logo
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 4

Substituindo Fx, Fy e Fz nas fórmulas:
partial zpartial x = -xraizx^2+y^2+z 12raizx^2+y^2+z = -2x,
partial zpartial y = -yraizx^2+y^2+z 12raizx^2+y^2+z = -2y
Aqui usamos também o fato de que na superfície implícita vale raizx^2+y^2+z=10, mas ele cancela no quociente.

Resposta

partial zpartial x = -2x, partial zpartial y = -2y

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