Questão 9 Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty 1n^1+1n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty an, an = 1n^1+1n,
usando o teste da raiz (ou o da razão) para ver se ela converge absolutamente ou diverge. Como an>0, basta investigar convergência simples.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, calculamos
raiz[n]an =raiz[n]1n^1+1n =1n^1+1nn =expl(-1+tfrac1nnln nr)
Como
1+tfrac1nnln n =ln nn+ln nn^2 ;xrightarrow[ntoinfty];0,
segue
limntoinftyraiz[n]an =exp(0) =1
Logo o teste da raiz é inconclusivo.

Passo 3

Para decidir a divergência usamos o teste da comparação limite com a série harmônica sum1/n. Note que
an1/n =nn^1+1n =1n^1n ;xrightarrow[ntoinfty];1
Como sum1/n diverge e o limite da razão dos termos é finito não nulo, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge (logo não converge absolutamente).

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