Questão 9 Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty n(23)^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência absoluta da série
sumn=1^inftynl(23r)^n
usando o teste da razão ou o teste da raiz. Como os termos são positivos, basta mostrar que a série converge para garantir convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja
an = nl(23r)^n
Então
an+1an = (n+1)l(23r)^,n+1nl(23r)^n = n+1n,23
Tomando o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftyan+1an = limntoinftyn+1n,23 = 1cdot23 = 23

Passo 3

Como L=tfrac23<1, o teste da razão garante que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn(tfrac23)^n converge absolutamente pelo teste da razão.

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