Determine se o vetor \mathbf{v} pertence ao espaço gerado pelo conjunto S.
(b) \mathbf{v}=(1,-1,2), \quad S=\{(1,0,1),(-1,1,0)\} em \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{v}=(1,-1,2) pertence ao subespaço de \mathbb{R}^3 gerado por
S=\{(1,0,1),\,(-1,1,0)\}.
O conteúdo aqui é testar se existe combinação linear desses dois vetores que resulte em \mathbf{v}.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,(1,0,1)\;+\;\beta\,(-1,1,0)\;=\;(1,-1,2).
Isso gera o sistema de coordenadas:
\begin{cases} \alpha - \beta = 1,\\\ \beta = -1,\\\ \alpha = 2. \end{cases}

Passo 3

Da segunda coordenada vem
\beta = -1.
Da terceira coordenada vem
\alpha = 2.

Passo 4

Substituindo \alpha=2 e \beta=-1 na primeira equação \alpha - \beta = 1, obtemos
2 - (-1) = 3 \neq 1.
Como não há consistência, não existem \alpha,\beta que satisfaçam todas as equações.

Resposta

O vetor \mathbf{v} não pertence ao espaço gerado por S.

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