Determine um vetor da mesma direção de v=2 x-y+2 z e que: tenha módulo igual a metade de v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor que tenha a mesma direção do vetor v = 2 x - y + 2 z e que tenha um módulo (ou seja, comprimento) igual à metade do módulo de v. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, direção de vetores e magnitude. Vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um vetor e como criar um vetor na mesma direção, mas com um módulo diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor v. O módulo de um vetor v = a x + b y + c z é dado pela fórmula:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
No nosso caso, a = 2, b = -1 e c = 2. Então:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Então, o módulo de v é 3 unidades.

Passo 3

Agora, queremos um vetor que tenha a mesma direção de v, mas com módulo igual à metade de 3, ou seja, 1,5 unidades. Para isso, podemos usar o conceito de vetor unitário, que é um vetor com módulo igual a 1 na mesma direção do vetor original, e depois multiplicar esse vetor unitário pelo novo módulo desejado.
Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário u na direção de v:
u = v|v|
Substituindo os valores:
u = 2 x - y + 2 z3 = 23 x - 13 y + 23 z

Passo 4

Agora que temos o vetor unitário u, vamos multiplicá-lo pelo novo módulo que queremos, que é 1,5:
w = módulo desejado times u = 1,5 times ( 23 x - 13 y + 23 z ) ó
Fazendo a multiplicação:
w = ( 1,5 times 23 ) x + ( 1,5 times -13 ) y + ( 1,5 times 23 ) z
Simplificando:
w = 1 x - 0,5 y + 1 z

Resposta

O vetor que tem a mesma direção de v e módulo igual à metade de v é:
w = x - 0,5, y + z

Exercícios relacionados