Expresse o vetor v em termos dos vetores unitários x, y e z, sabendo que sua projeção no eixo x é de 20 e que cos alpha=2 raiz25 e cos beta=raiz22, onde alpha e beta são os ângulos entre o vetor v e os eixos x e y, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar o vetor v usando os vetores unitários x, y e z. Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores, projeções e trigonometria. Vamos precisar entender como decompor um vetor nos eixos coordenados e usar as relações trigonométricas dos ângulos que ele forma com cada eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a projeção do vetor v no eixo x ser 20. Isso quer dizer que a componente x do vetor v, que chamamos de vx, é igual a 20. Em fórmula:
vx = 20

Passo 3

Agora, sabemos que cos alpha = 2raiz25, onde alpha é o ângulo entre o vetor v e o eixo x. A relação entre o cosseno do ângulo e a componente x é dada por:
cos alpha = vx|v|
Queremos encontrar a magnitude do vetor v, que é |v|. Vamos isolar |v| na equação:
|v| = vxcos alpha = 202raiz25 = 20 times 52raiz2 = 1002raiz2 = 50raiz2 = 25raiz2
Então,
|v| = 25raiz2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a componente y do vetor v. Sabemos que cos beta = raiz22, onde beta é o ângulo entre v e o eixo y. A relação é:
cos beta = vy|v|
Isolando vy:
vy = |v| cos beta = 25raiz2 times raiz22 = 25 times 22 = 25
Então,
vy = 25

Passo 5

Agora temos as componentes vx e vy. Para encontrar a componente z, usamos a relação da magnitude do vetor em 3D:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Substituindo os valores que já temos:
25raiz2 = raiz20^2 + 25^2 + vz^2
Calculando os quadrados:
25raiz2 = raiz400 + 625 + vz^2
Somando:
25raiz2 = raiz1025 + vz^2
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
(25raiz2)^2 = 1025 + vz^2
1250 = 1025 + vz^2
Isolando vz^2:
vz^2 = 1250 - 1025 = 225
Então,
vz = raiz225 = 15

Resposta

Portanto, o vetor v pode ser expresso como:
v = 20,x + 25,y + 15,z

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