Expresse o vetor
em termos dos vetores unitários
e
, sabendo que sua projeção no eixo
é de 20 e que
e
, onde
e
são os ângulos entre o vetor
e os eixos
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar o vetor
usando os vetores unitários
,
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores, projeções e trigonometria. Vamos precisar entender como decompor um vetor nos eixos coordenados e usar as relações trigonométricas dos ângulos que ele forma com cada eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a projeção do vetor
no eixo
ser 20. Isso quer dizer que a componente
do vetor
, que chamamos de
, é igual a 20. Em fórmula:
Passo 3
Agora, sabemos que
, onde
é o ângulo entre o vetor
e o eixo
. A relação entre o cosseno do ângulo e a componente
é dada por:
Queremos encontrar a magnitude do vetor
, que é
. Vamos isolar
na equação:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a componente
do vetor
. Sabemos que
, onde
é o ângulo entre
e o eixo
. A relação é:
Isolando
:
Então,
Passo 5
Agora temos as componentes
e
. Para encontrar a componente
, usamos a relação da magnitude do vetor em 3D:
Substituindo os valores que já temos:
Calculando os quadrados:
Somando:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Isolando
:
Então,
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser expresso como: