Mostre que a magnitude da soma de dois vetores a e b está sempre compreendida entre os limites
||a|-|b|| <=|a+b| <=|a|+|b|
Em que situações são atingidas os valores extremos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a magnitude da soma de dois vetores a e b está sempre entre ||a| - |b|| e |a| + |b|. Isso faz parte da matéria de Vetores e Geometria Analítica, especialmente usando a Desigualdade Triangular. Vamos precisar entender como somar vetores e como calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor v, representada por |v|, é basicamente o comprimento desse vetor. Quando somamos dois vetores, a + b, a magnitude desse resultado depende do ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos começar mostrando o limite superior: |a + b| <= |a| + |b|. Isso é a famosa Desigualdade Triangular, que basicamente diz que o comprimento de um lado de um triângulo não pode ser maior que a soma dos outros dois lados. Geometricamente, se você colocar os vetores a e b de ponta a ponta, a soma a + b será o terceiro lado do triângulo formado, e seu comprimento não pode exceder a soma dos comprimentos de a e b.

Passo 4

Agora, vamos para o limite inferior: |a + b| >= ||a| - |b||. Para entender isso, imagine que um dos vetores está “diminuindo” o comprimento do outro. Se os vetores estão apontando em direções exatamente opostas, a soma deles terá uma magnitude igual à diferença entre suas magnitudes. Assim, |a + b| nunca será menor que a diferença absoluta entre |a| e |b|.

Passo 5

Para especificar quando os valores extremos são atingidos:
  • Para o limite superior ( |a| + |b|): Isso acontece quando os vetores a e b estão alinhados na mesma direção. Ou seja, eles “empilham” um sobre o outro, somando seus comprimentos diretamente.
  • Para o limite inferior ( ||a| - |b||): Isso ocorre quando os vetores estão alinhados em direções opostas. Um vetor está “subtraindo” o comprimento do outro, resultando na diferença absoluta entre suas magnitudes.

Resposta

A magnitude da soma de dois vetores a e b sempre está entre ||a| - |b|| e |a| + |b|. O valor máximo |a| + |b| ocorre quando os vetores estão na mesma direção, e o valor mínimo ||a| - |b|| ocorre quando os vetores estão em direções opostas.

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