Mostre que a magnitude da soma de dois vetores
e
está sempre compreendida entre os limites
Em que situações são atingidas os valores extremos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a magnitude da soma de dois vetores
e
está sempre entre
e
. Isso faz parte da matéria de Vetores e Geometria Analítica, especialmente usando a Desigualdade Triangular. Vamos precisar entender como somar vetores e como calcular a magnitude de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor
, representada por
, é basicamente o comprimento desse vetor. Quando somamos dois vetores,
, a magnitude desse resultado depende do ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos começar mostrando o limite superior:
. Isso é a famosa Desigualdade Triangular, que basicamente diz que o comprimento de um lado de um triângulo não pode ser maior que a soma dos outros dois lados. Geometricamente, se você colocar os vetores
e
de ponta a ponta, a soma
será o terceiro lado do triângulo formado, e seu comprimento não pode exceder a soma dos comprimentos de
e
.
Passo 4
Agora, vamos para o limite inferior:
. Para entender isso, imagine que um dos vetores está “diminuindo” o comprimento do outro. Se os vetores estão apontando em direções exatamente opostas, a soma deles terá uma magnitude igual à diferença entre suas magnitudes. Assim,
nunca será menor que a diferença absoluta entre
e
.
Passo 5
Para especificar quando os valores extremos são atingidos:
-
Para o limite superior (
): Isso acontece quando os vetores e estão alinhados na mesma direção. Ou seja, eles “empilham” um sobre o outro, somando seus comprimentos diretamente. -
Para o limite inferior (
): Isso ocorre quando os vetores estão alinhados em direções opostas. Um vetor está “subtraindo” o comprimento do outro, resultando na diferença absoluta entre suas magnitudes.
Resposta
A magnitude da soma de dois vetores
e
sempre está entre
e
. O valor máximo
ocorre quando os vetores estão na mesma direção, e o valor mínimo
ocorre quando os vetores estão em direções opostas.