Determine o vetor nulo dos espaços vetoriais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o vetor nulo (ou elemento neutro da adição) no espaço vetorial C[0,1], que é o conjunto de todas as funções contínuas definidas em [0,1].
Passo 2
Lembrando que, em qualquer espaço vetorial, o vetor nulo é aquele que, ao somar com qualquer vetor (ou função, aqui), deixa tudo igual: se denote por 0, então para todo v vale v+0=v.
Passo 3
No espaço de funções C[0,1], essa propriedade significa encontrar uma função z(x) tal que, para qualquer f(x)∈C[0,1], valha f(x)+z(x)=f(x) para todo x em [0,1].
Passo 4
A única forma de garantir f(x)+z(x)=f(x) ∀x é ter z(x)=0 para todo x em [0,1]. Assim a função nula é aquela que envia todo ponto x em [0,1] para o número real zero.
Resposta
A função nula em C[0,1], dada por z(x)=0 para todo x∈[0,1].