8 Seja T um operador linear em V. Mostre que |T(v)|=|v| Leftrightarrowlang<= T u, T vrang<==lang<= u, vrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um operador linear T em um espaço com produto interno preserva normas se e somente se preserva produtos internos. O conteúdo envolve isometrias em espaços pré-Hilbertianos. Para resolver, vamos usar a identidade de polarização (que relaciona norma e produto interno) e explorar a linearidade de T.

Passo 2

Para provar “ |T(v)| = |v| implica lang<= Tu,Tvrang<= = lang<= u,vrang<=”, comece supondo que |T(w)| = |w| para todo win V. A identidade de polarização no caso real é
lang<= u,vrang<= = tfrac12l(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2r)
Como T é linear, T(u+v)=T(u)+T(v). Logo,
lang<= Tu,Tvrang<= = tfrac12l(|T(u+v)|^2 - |T(u)|^2 - |T(v)|^2r)
Pela hipótese de preservação de norma, cada termo |T(cdot)| coincide com |cdot|. Assim,
lang<= Tu,Tvrang<= = tfrac12l(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2r) = lang<= u,vrang<=

Passo 3

Para a recíproca “ lang<= Tu,Tvrang<= = lang<= u,vrang<= implica |T(v)| = |v|”, basta tomar u=v. Temos
|T(v)|^2 = lang<= T(v),T(v)rang<= = lang<= v,vrang<= = |v|^2,
o que implica |T(v)|=|v| para todo v.

Resposta

Logo, T preserva norma se e somente se preserva produto interno. Em outras palavras, |T(v)|=|v| para todo v em V se e somente se lang<= Tu,Tvrang<==lang<= u,vrang<= para todos u,v.

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