8 Seja
um operador linear em
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um operador linear
em um espaço com produto interno preserva normas se e somente se preserva produtos internos. O conteúdo envolve isometrias em espaços pré-Hilbertianos. Para resolver, vamos usar a identidade de polarização (que relaciona norma e produto interno) e explorar a linearidade de
.
Passo 2
Para provar “
implica
”, comece supondo que
para todo
. A identidade de polarização no caso real é
Como
é linear,
. Logo,
Pela hipótese de preservação de norma, cada termo
coincide com
. Assim,
Passo 3
Para a recíproca “
implica
”, basta tomar
. Temos
o que implica
para todo
.
Resposta
Logo, T preserva norma se e somente se preserva produto interno. Em outras palavras,
para todo
em V se e somente se
para todos
.