Verifique se cada um dos conjuntos
abaixo gera o espaço
:
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto X = {(1,1),(2,3)} gera E = ℝ². O conteúdo é geração de espaço vetorial em ℝ² e vamos usar definição de combinação linear e resolver um sistema para ver se todo vetor em ℝ² pode ser obtido.
Passo 2
Recordando que um conjunto de vetores gera ℝ² se todo vetor (x,y) em ℝ² pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados. Aqui queremos a, b tais que a·(1,1) + b·(2,3) = (x,y).
Escrevendo isso componente a componente, obtemos o sistema:
Escrevendo isso componente a componente, obtemos o sistema:
Passo 3
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos b = y – x. Substituindo em a + 2b = x, vem a + 2(y–x) = x, logo a = 3x – 2y. Como para todo (x,y) existe solução única (a,b), qualquer (x,y) em ℝ² é combinação linear dos vetores de X.
Passo 4
Como conseguimos expressar arbitrariamente qualquer vetor de ℝ², concluímos que X gera E = ℝ².
Resposta
Sim, o conjunto X gera ℝ².