Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
X=(1,1),(2,3), E=R^2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto X = {(1,1),(2,3)} gera E = ℝ². O conteúdo é geração de espaço vetorial em ℝ² e vamos usar definição de combinação linear e resolver um sistema para ver se todo vetor em ℝ² pode ser obtido.

Passo 2

Recordando que um conjunto de vetores gera ℝ² se todo vetor (x,y) em ℝ² pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados. Aqui queremos a, b tais que a·(1,1) + b·(2,3) = (x,y).
Escrevendo isso componente a componente, obtemos o sistema:
a + 2b = x
a + 3b = y

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos b = y – x. Substituindo em a + 2b = x, vem a + 2(y–x) = x, logo a = 3x – 2y. Como para todo (x,y) existe solução única (a,b), qualquer (x,y) em ℝ² é combinação linear dos vetores de X.

Passo 4

Como conseguimos expressar arbitrariamente qualquer vetor de ℝ², concluímos que X gera E = ℝ².

Resposta

Sim, o conjunto X gera ℝ².

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