Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
X=(0,1),(0,6), E=R^2;

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto X=(0,1),(0,6) gera o espaço vetorial E=R^2. O conteúdo aqui é geração de espaço (span) usando combinações lineares, e vamos precisar usar a definição: todo vetor em R^2 tem que ser expressável como combinação linear dos vetores de X.

Passo 2

Pegamos um vetor genérico (x,y)inR^2 e tentamos achar escalares a,binR tais que
a,(0,1)+b,(0,6)=(x,y)

Passo 3

Calculando a combinação,
a,(0,1)+b,(0,6)=(0,,a+6b)

Passo 4

Para essa igualdade valer, precisamos de
x=0e y=a+6b

Passo 5

Isso mostra que só conseguimos gerar vetores cuja primeira componente seja zero, ou seja, o span de X é o eixo dos y. Qualquer vetor com xneq0 não pode ser escrito assim.

Passo 6

Como existem vetores em R^2 com xneq0 (por exemplo (1,0)), concluímos que X não gera todo R^2.

Resposta

Não, o conjunto X não gera o espaço E=R^2.

Exercícios relacionados