Determine o vetor nulo dos espaços vetoriais abaixo.
Passo 1
Neste exercício temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 7, e queremos encontrar o vetor nulo desse espaço.
Passo 2
Na teoria de espaços vetoriais, o vetor nulo é o elemento neutro em relação à adição: se somarmos qualquer vetor com o nulo, o resultado é o próprio vetor. Para polinômios, a soma é feita adicionando coeficiente a coeficiente.
Passo 3
Para o polinômio ser neutro nessa soma, cada coeficiente deve ser zero, pois se um coeficiente qualquer é
, precisamos de
para garantir
.
Passo 4
Portanto o vetor nulo em
é justamente o polinômio cujos oito coeficientes (do grau 0 ao grau 7) são todos zero.