Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais
abaixo:
e
é o conjunto dos polinômios
tais que
Passo 1
O enunciado pede os geradores do subespaço de polinômios de grau ≤2 que verificam a condição linear p(0)=p(1). Estamos em E=𝒫₂(ℝ) e a condição impõe uma relação entre os coeficientes.
Passo 2
Seja p(x)=ax²+bx+c. A condição p(0)=p(1) dá c=a+b+c, ou seja a+b=0. Logo b=−a e p(x)=a(x²−x)+c. Isso mostra que todo p∈F é combinação linear de x²−x e 1, e por isso F=span{ x²−x, 1 }.
Resposta
Um conjunto de geradores é
.