Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais F subset E abaixo:
E=mathscrP2(R) e F é o conjunto dos polinômios p tais que p(0)=p(1)

Passo 1

O enunciado pede os geradores do subespaço de polinômios de grau ≤2 que verificam a condição linear p(0)=p(1). Estamos em E=𝒫₂(ℝ) e a condição impõe uma relação entre os coeficientes.

Passo 2

Seja p(x)=ax²+bx+c. A condição p(0)=p(1) dá c=a+b+c, ou seja a+b=0. Logo b=−a e p(x)=a(x²−x)+c. Isso mostra que todo p∈F é combinação linear de x²−x e 1, e por isso F=span{ x²−x, 1 }.

Resposta

Um conjunto de geradores é 1,,x^2 - x.

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