Seja
um
-espaço vetorial com produto interno. Demonstre as identidades de polarização:
se
então para todo
temos que:
se
Passo 1
O exercício quer provar a identidade de polarização para um espaço vetorial real com produto interno, ou seja, mostrar que
. Vamos usar a definição de norma em termos de produto interno e as propriedades de bilinearidade e simetria.
Passo 2
Lembrando que em um espaço com produto interno definimos a norma por
. Além disso, o produto interno sobre
satisfaz: 1) linearidade em cada argumento, isto é,
; 2) simetria, isto é,
.
Passo 3
Agora expandimos
e
usando essas propriedades:
Passo 4
Subtraindo as duas expansões, os termos
e
se cancelam, ficando:
Passo 5
Por fim, isolamos
e dividimos ambos os lados por 4, obtendo exatamente a identidade de polarização desejada.