Seja V um K-espaço vetorial com produto interno. Demonstre as identidades de polarização:
se K=R então para todo u, v in V temos que:
lang<= u, vrang<==14|u+v|^2-14|u-v|^2

Passo 1

O exercício quer provar a identidade de polarização para um espaço vetorial real com produto interno, ou seja, mostrar que lang<= u, vrang<= = tfrac14|u+v|^2 - tfrac14|u-v|^2. Vamos usar a definição de norma em termos de produto interno e as propriedades de bilinearidade e simetria.

Passo 2

Lembrando que em um espaço com produto interno definimos a norma por |x|^2 = lang<= x, xrang<=. Além disso, o produto interno sobre R satisfaz: 1) linearidade em cada argumento, isto é, lang<= a+b, crang<= = lang<= a, crang<= + lang<= b, crang<=; 2) simetria, isto é, lang<= a, brang<= = lang<= b, arang<=.

Passo 3

Agora expandimos |u+v|^2 e |u-v|^2 usando essas propriedades:
|u+v|^2 = lang<= u+v, u+vrang<= = lang<= u, urang<= + lang<= u, vrang<= + lang<= v, urang<= + lang<= v, vrang<= = |u|^2 + 2lang<= u, vrang<= + |v|^2
|u-v|^2 = lang<= u-v, u-vrang<= = lang<= u, urang<= - lang<= u, vrang<= - lang<= v, urang<= + lang<= v, vrang<= = |u|^2 - 2lang<= u, vrang<= + |v|^2

Passo 4

Subtraindo as duas expansões, os termos |u|^2 e |v|^2 se cancelam, ficando:
|u+v|^2 - |u-v|^2 = (|u|^2 + 2lang<= u, vrang<= + |v|^2) - (|u|^2 - 2lang<= u, vrang<= + |v|^2) = 4lang<= u, vrang<=

Passo 5

Por fim, isolamos lang<= u, vrang<= e dividimos ambos os lados por 4, obtendo exatamente a identidade de polarização desejada.

Resposta

lang<= u, vrang<= = tfrac14l(|u+v|^2 - |u-v|^2r).

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