Determine um vetor ortogonal a v=(1,2,3) mas que não é ortogonal a w=(1,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para achar um vetor u=(x,y,z) tal que seja ortogonal a v=(1,2,3) mas não seja ortogonal a w=(1,-1,2). O conteúdo principal é o produto escalar em R^3: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Para que u seja ortogonal a v precisamos de
ucdot v=xcdot1 + ycdot2 + zcdot3 = 0,
ou seja,
x + 2y + 3z = 0
Daí obtemos a solução geral
x = -2y - 3z,
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u = (-2y-3z,;y,;z)

Passo 3

Agora exigimos que u não seja ortogonal a w, ou seja,
ucdot w neq 0
Calculamos
ucdot w = xcdot1 + ycdot(-1) + zcdot2 =(-2y-3z) - y + 2z = -3y - z
Portanto, precisamos de -3y - z neq 0.

Passo 4

Para simplificar, escolhemos valores inteiros para y e z que satisfaçam -3y - z neq 0. Por exemplo, y=1 e z=0. Assim
x = -2cdot1 - 3cdot0 = -2
e
u=(-2,1,0)
Verificações:
ucdot v = -2cdot1 + 1cdot2 + 0cdot3 = -2+2+0 = 0,
ucdot w = -2cdot1 + 1cdot(-1) + 0cdot2 = -2 -1 = -3 neq 0

Resposta

Um vetor que atende às condições é
u=(-2,1,0)

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