Mostre que (a, b, c) é LD, quaisquer que sejam u, v e w.
(a) a=2 u+4 v+w
b=-u+v / 2+3 w / 4
c=v+w / 2

Passo 1

O enunciado define
a=2u+4v+w,
b=-u+tfrac12v+tfrac34w e
c=v+tfrac12w,
e pede para mostrar que a,b,c é linearmente dependente qualquer que seja a escolha de u,v,w.
Vamos usar o fato de que, se em coordenadas numa mesma base a matriz que tem como colunas os vetores tem determinante zero, então há combinação linear não trivial que zera esses vetores.

Passo 2

Considere a combinação homogênea
Escrevendo em coordenadas na base , obtemos o sistema
Se o determinante dessa matriz for zero, há solução não trivial, logo dependência linear.

Passo 3

Calculemos o determinante:
det =2l(tfrac12cdottfrac12 - 1cdottfrac34r) -(-1)l(4cdottfrac12 - 1cdot1r) +0 =2l(tfrac14-tfrac34r)+(2-1) =-1+1 =0
Como det=0, o sistema homogêneo admite solução não trivial.

Passo 4

Para encontrar uma relação explícita, da primeira linha vem 2x-y=0Rightarrow y=2x.
Na segunda linha: 4x+tfrac12y+z=0Rightarrow4x+tfrac12(2x)+z=0Rightarrow5x+z=0Rightarrow z=-5x.
Escolhendo x=1, fica y=2, z=-5 e
1cdota+2cdotb-5cdotc=0,
mostrando que há combinação não trivial.

Resposta

Portanto a,b,c é linearmente dependente, por exemplo
a+2b-5c=0

Exercícios relacionados